জুতার ফিতা বাঁধার জ্যামিতি!
· Prothom Alo
গণিত আসলে কী? কেউ কেউ হয়তো চরম হতাশা থেকে বলবেন, ‘গণিতবিদরা যা করেন, সেটাই গণিত!’ একই যুক্তিতে, গণিতবিদ মানে যিনি গণিত গবেষণা করেন! এই সুন্দর গোলাকার যুক্তিটি আসলে বিষয়টিকেও সংজ্ঞায়িত করতে পারে না, আবার এর চর্চাকারীকেও চেনাতে পারে না।
Visit rouesnews.click for more information.
এবার সংজ্ঞার বাইরে গিয়ে আমরা একটু গণিতবিদ বোঝার চেষ্টা করি। আসলে গণিতবিদ হলেন এমন কেউ, যিনি এমন সব জায়গায় গণিত করার সুযোগ খুঁজে পান, যেখানে অন্য কেউ তা ভাবতেই পারে না! ঠিক যেমন একজন ঝানু ব্যবসায়ী এমন জায়গা থেকে লাভের সুযোগ বের করেন, যেখানে অন্য সবার চোখ এড়িয়ে যায়। এই কথাটি প্রমাণ করার জন্য চলুন জুতার ফিতা নিয়ে একটু কথা বলি।
জুতার ফিতার ভেতরে যে অসাধারণ সব গণিত লুকিয়ে থাকতে পারে, তা হয়তো অনেকেই জানেন না। আমরা সাধারণত অন্তত তিনভাবে জুতার ফিতা বাঁধি। নিচের ছবিতে দেখুন।
১. আমেরিকান জিগজ্যাগ লেসিং
২. ইউরোপিয়ান স্ট্রেইট লেসিং
৩. কুইক-অ্যাকশন শু-স্টোর লেসিং
যিনি জুতা কিনছেন, তাঁর কাছে এই তিন ধরনের ফিতা বাঁধার সৌন্দর্য বা ফিতা বাঁধতে কত সময় লাগছে, সেটিই হয়তো মূল চিন্তার বিষয়। কিন্তু একজন জুতা প্রস্তুতকারকের কাছে সবচেয়ে জরুরি প্রশ্ন হলো, কোন পদ্ধতিতে ফিতা বাঁধলে সবচেয়ে কম ফিতা লাগবে? কারণ, কম ফিতা মানেই খরচ কম!
তরমুজ বিক্রির ২৫০ টাকা গেল কোথায়গণিতবিদ হলেন এমন কেউ, যিনি এমন সব জায়গায় গণিত করার সুযোগ খুঁজে পান, যেখানে অন্য কেউ তা ভাবতেই পারে না!
আজকের এই অধ্যায়ে আমরা জুতা প্রস্তুতকারকের পক্ষ নেব। তবে পাঠকেরা চাইলে এই ছবিগুলোতে দেওয়া ফিতা বাঁধার ধরনগুলো দেখে নিজেরাই বিচার করতে পারেন, কোনটি সবচেয়ে সহজ।
অবশ্য একজন জুতা প্রস্তুতকারক শুধু এই তিনটি নির্দিষ্ট ডিজাইনের মধ্যেই সীমাবদ্ধ থাকেন না। আমরা আরও কঠিন একটি প্রশ্ন করতে পারি। পৃথিবীতে ফিতা বাঁধার যত ধরনের সম্ভাব্য উপায় আছে, তার মধ্যে কোনটিতে সবচেয়ে কম ফিতা লাগবে? হ্যালটনের দারুণ কিছু পদ্ধতি এই প্রশ্নেরও উত্তর দেয়। অবশ্য এর জন্য কিছু গাণিতিক অনুমান ও সরলীকরণের প্রয়োজন হয়, যা এই লেখার শেষের দিকে থাকবে।
এখানে আমরা শুধু জুতার একদম ওপরের অংশের হিসাব করব। ফিতা বাঁধার জন্য বা গিঁট দেওয়ার জন্য যে বাড়তি ফিতাটুকু লাগে, সেটি সব পদ্ধতির জন্যই প্রায় সমান। তাই হিসাবের সুবিধার জন্য আমরা ওই অংশটুকু আপাতত বাদ দিচ্ছি। আমাদের এই লেখায় ব্যবহৃত শব্দগুলো এমন হবে যেন ফিতা বাঁধা জুতাটি আপনি নিজে পরে আছেন। তাই ওপরের ছবির বাঁ দিকের ফিতার ফুটোগুলো হলো জুতার বাঁ পাশ, আর ডান দিকেরগুলো হলো ডান পাশ।
হিসাব সহজ করার জন্য ধরে নিচ্ছি, ফিতাটির কোনো পুরুত্ব নেই। এটি শুধু একটি গাণিতিক রেখা, আর ফিতার ফুটোগুলো হলো জ্যামিতিক বিন্দু। এখানে সবচেয়ে বড় অনুমানটি হলো, আমরা ধরে নিচ্ছি ফিতাটি অলটারনেটিং পদ্ধতিতে বাঁধা হচ্ছে। অর্থাৎ ফিতাটি সব সময় এক ফুটো থেকে আরেক ফুটোয় যাওয়ার সময় বাঁ থেকে ডানে অথবা ডান থেকে বাঁয়ে যাচ্ছে। যদি এই নিয়ম না-ও মানা হয়, তবু হিসাব করা সম্ভব। তবে ব্যাপারটি সহজ রাখার জন্য আমরা শুধু অলটারনেটিং পদ্ধতির মধ্যেই থাকব।
গড়ের গোলকধাঁধা: লটারি, কয়েন ও মহাকাশে হারিয়ে যাওয়াহিসাব সহজ করার জন্য ধরে নিচ্ছি, ফিতাটির কোনো পুরুত্ব নেই। এটি শুধু একটি গাণিতিক রেখা, আর ফিতার ফুটোগুলো হলো জ্যামিতিক বিন্দু।
আমরা যদি একটু কঠিন পদ্ধতি ব্যবহার করি, তবে ফিতার দৈর্ঘ্য বের করার জন্য আমাদের তিনটি বিষয়ের মান জানতে হবে। ফিতার ফুটোর জোড়ার সংখ্যা n, পর পর দুটি ফুটোর মাঝখানের দূরত্ব d এবং বাঁ ও ডান পাশের ফুটোগুলোর মাঝখানের ফাঁকা জায়গা g।
পিথাগোরাসের বিখ্যাত উপপাদ্যের সাহায্য নিয়ে বেশ সহজেই ওপরের ছবির তিন ধরনের ফিতা বাঁধার জন্য নিচের সমীকরণগুলো বের করা যায়:
আমেরিকান: g + 2n
ইউরোপিয়ান: ng + 2 + (n - 1)
জুতার দোকানে: ng + n +
এই তিনটি সমীকরণের মধ্যে কোনটির ফিতার দৈর্ঘ্য সবচেয়ে ছোট হবে? তর্কের খাতিরে চলুন ধরে নিই, আমাদের ছবিতে যেমন দেওয়া আছে, তেমনি n = ৮, d = ১ এবং g = ২। একটু সাধারণ যোগ-বিয়োগ করলেই আমরা নিচের মানগুলো পাব:
আমেরিকান: ২ + ১৬ = ৩৭.৭৭৭
ইউরোপিয়ান: ১৬ + ২ + ৭ = ৪০.২৭১
জুতার দোকানে: ১৬ + ৮ + = ৪২.১৩৪
এই নির্দিষ্ট ক্ষেত্রে দেখা যাচ্ছে, আমেরিকান পদ্ধতিতে সবচেয়ে কম ফিতা লাগছে। এরপর আছে ইউরোপিয়ান পদ্ধতি এবং সবচেয়ে বেশি ফিতা লাগছে জুতার দোকানের পদ্ধতিতে। কিন্তু আমরা কি নিশ্চিত করে বলতে পারি, এই নিয়ম সব সময়ই খাটবে? নাকি এটি n, d এবং g-এর মানের ওপর নির্ভর করে বদলে যেতে পারে?
ওপরের সূত্রগুলো ব্যবহার করে একটু সতর্কতার সঙ্গে হাইস্কুলের বীজগণিত কষলেই দেখা যায়, যদি d এবং g-এর মান শূন্য না হয় এবং n-এর মান ৩ বা তার বেশি হয়, তবে সব সময়ই আমেরিকান পদ্ধতিতে সবচেয়ে কম ফিতা লাগবে। এরপর ইউরোপিয়ান এবং সব শেষে জুতার দোকানের পদ্ধতি।
যদি n = ২ হয় এবং d ও g-এর মান শূন্য না হয়, তবু আমেরিকান পদ্ধতিটিই সবচেয়ে ছোট হবে। তবে তখন ইউরোপিয়ান এবং জুতার দোকানের পদ্ধতিতে সমান ফিতা লাগবে। আর যদি n = ১, অথবা d = ০, অথবা g = ০ হয়, তখন তিনটি পদ্ধতিতেই সমান ফিতা লাগবে। কিন্তু সত্যি বলতে, শুধু গণিতবিদরাই এমন উদ্ভট পরিস্থিতি নিয়ে মাথা ঘামান!
টাকা দ্বিগুণ করার জাদুকরী সংখ্যাযদি d এবং g-এর মান শূন্য না হয় এবং n-এর মান ৩ বা তার বেশি হয়, তবে সব সময়ই আমেরিকান পদ্ধতিতে সবচেয়ে কম ফিতা লাগবে।
যাই হোক, এই বীজগণিতের হিসাবটি বেশ জটিল এবং এটি আসলে পরিষ্কার করে বোঝাতে পারে না, কেন একেক পদ্ধতিতে একেক রকম ফিতা লাগছে। জটিল বীজগণিতের পথে না হেঁটে হ্যালটন একটি জাদুকরী জ্যামিতিক কৌশলের আশ্রয় নেন। তিনি দেখান, এই কৌশলটি ব্যবহার করলে একেবারে পানির মতো পরিষ্কার হয়ে যায় কেন আমেরিকান পদ্ধতিটি সবচেয়ে ছোট। একটু খাটুনি ও এই জ্যামিতিক কৌশলের সামান্য পরিবর্তন করলেই আবার প্রমাণ করা যায়, কেন জুতার দোকানের পদ্ধতিতে সবচেয়ে বেশি ফিতা লাগে।
হ্যালটন এই ধারণাটি পেয়েছিলেন আলোকবিজ্ঞান থেকে। আরও নির্দিষ্ট করে বললে, আলোর রশ্মি কীভাবে চলে তা থেকে। গণিতবিদেরা অনেক আগেই আবিষ্কার করেছিলেন, আলোর গতিপথের অনেক বৈশিষ্ট্য খুব সহজেই বোঝা যায় যদি আমরা একটি বাঁকা আলোর পথকে আয়নার প্রতিফলনের সাহায্যে সোজা করে নিই!
উদাহরণস্বরূপ, আয়নায় আলোর প্রতিফলনের ধ্রুপদি সূত্রটির প্রমাণের কথা ভাবুন। মানে আপতন কোণ = প্রতিফলন কোণ। ধরুন, একটি আলোর রশ্মি দুটি সোজা পথে চলে প্রথমে আয়নায় আঘাত করে এবং তারপর ছিটকে ফিরে আসে। আপনি যদি এই দ্বিতীয় পথটিকে আয়নার ভেতরে প্রতিফলিত করেন (নিচের ছবির মতো), তবে দেখবেন পথটি আয়নার ভেতর দিয়ে সোজা অ্যালিসের আয়নার জগতে চলে গেছে!
পিয়েরে দ্য ফার্মার দেওয়া আলোর ন্যূনতম সময়ের নীতি অনুযায়ী, আলোর এই পথটি সবচেয়ে কম সময়ে তার গন্তব্যে পৌঁছাবে। মানে পথটি অবশ্যই একটি সরলরেখা হবে। ফলে ছবিতে দেখানো আয়নার ভেতরের কোণের মান আপতন কোণের সমান হবে। আর এটি যে প্রতিফলন কোণেরও সমান, তা তো দেখেই বোঝা যাচ্ছে!
তোমার অর্ধেক আমার অর্ধেকের চেয়ে বড়!গণিতবিদেরা অনেক আগেই আবিষ্কার করেছিলেন, আলোর গতিপথের অনেক বৈশিষ্ট্য খুব সহজেই বোঝা যায় যদি আমরা একটি বাঁকা আলোর পথকে আয়নার প্রতিফলনের সাহায্যে সোজা করে নিই!
ওপরের ছবিতে ফিতা বাঁধার তিনটি পদ্ধতিরই জ্যামিতিক রূপ দেখানো হয়েছে, যা হ্যালটন এই অপটিক্যাল প্রতিফলনের কৌশল ব্যবহার করেই তৈরি করেছেন। ছবিটি একটু বুঝিয়ে বলা দরকার। এই ছবিতে ফিতার ফুটোগুলোর 2n সংখ্যক সারি রয়েছে। এদের আনুভূমিক দূরত্ব d। পর পর দুটি সারির উলম্ব দূরত্ব g, এবং ছবিটিকে একটু ছোট করার জন্য আমরা g-এর মান ২ থেকে কমিয়ে ০.৫ ধরে নিয়েছি। এই পদ্ধতিটি d এবং g-এর যেকোনো মানের জন্যই কাজ করে, তাই এতে কোনো সমস্যা নেই।
ছবির প্রথম সারিটি হলো জুতার বাঁ দিকের ফুটোগুলো। দ্বিতীয় সারিটি হলো ডান দিকের ফুটোগুলো। এরপর সারিগুলো পর্যায়ক্রমে বাঁ এবং ডান দিকের ফুটোগুলোকে বোঝায়। অর্থাৎ, বিজোড় সারিগুলো বাঁ দিকের এবং জোড় সারিগুলো ডান দিকের ফুটো নির্দেশ করে।
এই ছবির ওপর দিয়ে জিগজ্যাগ করে যাওয়া পথগুলো আসলে জুতার ফিতাকেই বোঝাচ্ছে, তবে এখানে ছোট্ট একটা টুইস্ট আছে! ফিতা বাঁধার ডিজাইনের একদম ওপরের বাঁ দিকের ফুটো থেকে শুরু করুন এবং ফিতার প্রথম অংশটুকু আঁকুন। অর্থাৎ যা বাঁ দিক থেকে ডান দিক দিয়ে যাবে। এবার বাস্তবে ফিতাটি যেভাবে ২ নম্বর সারি থেকে আবার ১ নম্বর সারিতে ফিরে আসে, সেভাবে না এঁকে ফিতার পরবর্তী অংশটিকে ২ এবং ৩ নম্বর সারির মাঝখানে প্রতিফলিত করে দিন। এভাবেই চলতে থাকুক। যখনই ফিতাটি কোনো ফুটোয় পৌঁছাবে, তখনই তার ভৌত অবস্থানকে প্রতিফলিত করে দিন। খেয়াল করুন, দুবার প্রতিফলিত হওয়ার পর ফিতার অংশটি তার আদি অবস্থানের সমান্তরালে চলে আসবে, তবে দুই সারি নিচে নেমে যাবে।
গণিত শিখলে কেন অন্য বিষয়েও ভালো করা যায়ফিতা বাঁধার ডিজাইনের একদম ওপরের বাঁ দিকের ফুটো থেকে শুরু করুন এবং ফিতার প্রথম অংশটুকু আঁকুন। অর্থাৎ যা বাঁ দিক থেকে ডান দিক দিয়ে যাবে।
সহজ কথায়, আমরা ফিতার দুই দিকের ফুটোগুলোকে আয়না হিসেবে কল্পনা করছি! ফলে ফিতাটি দুই দিকের ফুটোর মধ্যে জিগজ্যাগ করার বদলে এখন ছবির ওপর থেকে ধীরে ধীরে নিচের দিকে নামতে থাকবে। এর আনুভূমিক গতি ঠিক বাস্তব ফিতার মতোই এক সারি থেকে অন্য সারিতে যেতে থাকবে।
যেহেতু প্রতিফলন করলে কোনো কিছুর দৈর্ঘ্য বাড়ে বা কমে না, তাই এই নতুন জ্যামিতিক পথটির দৈর্ঘ্য এবং বাস্তব ফিতার দৈর্ঘ্য একদম সমান হবে। কিন্তু এখানে সবচেয়ে বড় সুবিধা হলো, এখন আমেরিকান এবং ইউরোপিয়ান পদ্ধতি দুটির মধ্যে তুলনা করা একেবারে সহজ হয়ে গেল!
ছবির দিকে তাকালে দেখবেন, কিছু জায়গায় পথ দুটি মিলে গেছে। কিন্তু অন্য সব জায়গায় আমেরিকান ফিতাটি একটি পাতলা ত্রিভুজের একটি মাত্র বাহু বরাবর চলছে, যেখানে ইউরোপিয়ান ফিতাটি একই ত্রিভুজের দুটি বাহু বরাবর চলছে। আমরা সবাই জানি, ত্রিভুজের যেকোনো দুই বাহুর যোগফল তৃতীয় বাহুর চেয়ে বড় হয়। তাই এটা একেবারে দিনের আলোর মতো পরিষ্কার যে আমেরিকান পদ্ধতিটিই সবচেয়ে ছোট!
জুতার দোকানের পদ্ধতিটি যে ইউরোপিয়ান পদ্ধতির চেয়েও লম্বা, তা বোঝা এতটাও সহজ নয়। এটি বোঝার সবচেয়ে সহজ উপায় হলো, দুটি পথ থেকেই সব উলম্ব অংশগুলো বাদ দেওয়া। কারণ দুটি পথেই খাড়া অংশের সংখ্যা n - 1, তাই এরা দৈর্ঘ্যের দিক থেকে সমান। পাশাপাশি, যে বাঁকা অংশগুলো মিলে যায়, সেগুলোও বাদ দিন। ফলাফল দেখুন নিচের ছবিতে।
এখন যদি প্রতিটি V আকৃতির পথকে এর ঠিক মাঝখানের উলম্ব অক্ষ বরাবর আয়নার মতো প্রতিফলিত করে সোজা করে দেওয়া হয়, তবে খুব সহজেই বোঝা যাবে যে জুতার দোকানের পথটি বেশি লম্বা। কারণ এখানেও সেই একই নিয়ম খাটবে; ত্রিভুজের দুই বাহুর যোগফল তৃতীয় বাহুর চেয়ে বড়!
সুডোকুর ভেতরে লুকিয়ে আছে যে জাদুকরী প্যাটার্নযেহেতু প্রতিফলন করলে কোনো কিছুর দৈর্ঘ্য বাড়ে বা কমে না, তাই এই নতুন জ্যামিতিক পথটির দৈর্ঘ্য এবং বাস্তব ফিতার দৈর্ঘ্য একদম সমান হবে।
হ্যালটন এই কৌশল ব্যবহার করে প্রমাণ করেছেন, পৃথিবীতে যত ধরনের ফিতা বাঁধার পদ্ধতি হতে পারে, তার মধ্যে আমেরিকান জিগজ্যাগ পদ্ধতিটিই হলো সবচেয়ে ছোট! আরও বড় পরিসরে বলতে গেলে, এই জুতার ফিতা এবং ফার্মার আলোকবিজ্ঞান একসময় জিওডেসিকের গাণিতিক তত্ত্বে এসে এক হয়ে যায়। সেখানে এই প্রতিফলনের কৌশলটি তার আসল জাদু দেখায়।
পাঠকের মনে প্রশ্ন জাগতে পারে, আমেরিকান পদ্ধতিটি কি সত্যিই সবচেয়ে কম ফিতা ব্যবহার করে? আগেই বলেছি, এই সিদ্ধান্তটি তখনই সত্যি হবে, যখন আমরা ধরে নেব যে ফিতাটি সব সময় এক পাশ থেকে আরেক পাশে অর্থাৎ বাঁ থেকে ডানে যাবে। কিন্তু যদি আমরা এই শর্তটি বাদ দিই, তবে এর চেয়েও ছোট ফিতা বাঁধার পদ্ধতি বের করা সম্ভব। যদিও বাস্তব ব্যবহারের ক্ষেত্রে তখন একটু বেশি শক্ত ফিতার প্রয়োজন হবে।
সূত্র: হাউ টু কাট আ কেক অবলম্বনেদুই হাজার বছরের পুরোনো গাণিতিক সমস্যার সমাধান কি মিলল